Espaces de modules des représentations Pfaffiennes de cubiques de dimension 3
(Moduli spaces of Pfaffian representations of cubic threefolds)

URL d'accès : http://ori-nuxeo.univ-lille1.fr/nuxeo/site/esupver...

Auteur(s):  Comaschi, Gaia
Date de soutenance : 12/07/2019
Éditeur(s) : Université Lille1 - Sciences et Technologies 

Langue : Anglais
Directeur(s) de thèse :  Markouchevitch, Dimitri
Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
Ecole doctorale : École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille)

Classification : Mathématiques
Discipline : Mathématiques et leurs interactions
Mots-clés : Représentations pffaffiennes
Espaces de modules
Fibres vectoriels
Hypersurfaces
Variétés à 3 dimensions
Compactifications

Résumé : n-Uhlenbeck de Min.Dimitri Markushevich et Alexander Tikhomirov ont décrit en 1999 une famille de fibrés vectoriels de rang 2 à cohomologie "naturelle", appelés instantons, sur une hypersurface cubique lisse X de P4. L'espace de modules M(X) de ces fibrés instantons s'identifie à un ouvert d'un tore complexe J(X) de dimension 5, la jacobienne intermédiaire de X. Stéphane Druel a donné en 2000 une description complète du bord de M(X) dans la compactification de Gieseker-Maruyama M̅ (X) paramétrant les faisceaux semistables de rang 2. Il se trouve que M̅ (X) n'est pas J(X), mais un éclatement de J(X). La question se pose si J(X), la compactification naturelle de M(X) dans la classe des variétés, s'interprète aussi comme une compactification dans la classe des espaces de modules d'objets quelconques liés à X. Cela sert de motivation pour la recherche d'autres compactifications de M(X) qui soient des espaces de modules. Une autre motivation pour ce problème est de trouver une compactification M̃ (X) de M(X) dont la relation à M̅ (X) soit similaire à celle, établie par Jun Li, pour les instantons sur des surfaces algébriques, entre les compactifications de Donaldson-Uhlenbeck et de Gieseker-Maruyama, dont la seconde est un éclatement de la première. Une troisième motivation est d'obtenir une compactification plus maniable que M̅ (X) au cas où X acquiert des singularités, car dans ce cas le bord de M̅ (X) devient intraitable. Enfin, en faisant varier les cubiques X dans la famille des sections hyperplanes d'une cubique Y de P5, les espaces M̃ (X) se collent en une variété portant une 2-forme holomorphe symplectique, d'où l'intérêt de la recherche d'un espace de modules compactifié susceptible d'être holomorphiquement symplectique. Dans la thèse on remplace les fibrés instantons par leurs résolutions localement libres antisymétriques sur P4, qui ne sont autres que les représentations des cubiques comme les pfaffiens des matrices antisymétriques de taille 6 de formes linéaires sur P4. Les espaces compactifiés M̃ (X) se situent dans le lieu des matrices GIT-semistables quotienté par le groupe GL(6). La (semi)stabilité des matrices antisymétriques de formes linéaires sur P4 se réduit à celle des systèmes P4 ("hyperwebs") dans l'espace P14 des formes alternés, ou encore à celle des quintuplets de matrices antisymétriques complexes de taille 6. Ce problème est étudié par une méthode similaire à celle de C.T.C.Wall, qu'il a développée pour les systèmes linéaires de quadriques. Des critères de (semi)stabilité dans le cas anti-symétrique sont obtenus, ainsi que la classification géométrique des hyperwebs (semi)stables en fonction de l'intersection de P4 avec la grassmannienne G(2,6) plongée dans P14 selon Plücker. L'espace des déformations de la résolution antisymétrique d'un faisceau dans le bord B(X0) de M̅ (X0) est étudié. En notant B, M, M̅ , M̃ la réunion des espaces B(X), M(X), M̅ (X), M̃ (X) respectivement, pour X parcourant une famille complète des déformations de X0, on montre que B est formée de deux diviseurs B', B'' et que M̅ est, aux points génériques de B', un éclatement d’ une sous-variété lisse dans M̃ . Conjecturalement le même résultat est valable sur B’. On peut donc considérer M̃ comme une sorte de compactification de Donaldson-Uhlenbeck de M.


Résumé (anglais) : In 1999, Dimitri Markushevich and Alexander Tikhomirov described a family of rank 2 vector bundles with “natural” cohomology on a smooth cubic hypersurface X of P 4, which they called instantons. The moduli space M(X) of instanton bundles is isomorphic to an open subset of the intermediate Jacobian J(X) of X, a 5 dimensional complex torus. In 2000, Druel gave a complete description of the boundary of M(X) in the Gieseker-Maruyama compactification (X) parametrizing semistable sheaves of rank 2. It turns out that (X) is not isomorphic to J(X) but to the blow up of J(X) along a smooth surface. A natural question arises whether J(X), the simplest compactification of M(X) in the class of varieties, can also be interpreted as a compactification in the class of moduli spaces of objects related to X. This question motivates the search for alternative compactifications of M(X) that are moduli spaces. Another motivation for this problem is to find a compactification (X) of M(X) whose relation with M(X) is similar to the one existing between the Donaldson-Uhlenbeck and the Gieseker-Maruyama compactifications of moduli spaces of instantons on algebraic surfaces. Jun Li proved that the latter is a blowup of the former. Yet another motivation is to obtain a compactification that is easier to handle on singular cubics, since in the singular case the boundary of (X) is intractable. Moreover, when the cubic X varies in the family of hyperplane sections of a cubic fourfold Y 5 , the spaces M(X) glue together into a manifold carrying a holomorphic symplectic 2-form. It is thus interesting to look for compactified moduli spaces that might be holomorphically symplectic. In the thesis we replace instanton bundles by their locally free skew-symmetric resolutions in P4. These are just the representations of cubics as the Pfaffians of 6 6 skew-symmetric matrices of linear forms. The compact moduli space (X) is contained in the GIT quotient of the locus of semistable matrices for the action of SL(6). The (semi)stability of skew-symmetric matrices of linear forms on P 4 reduces to the (semi)stability of 4 dimensional linear systems (hyperwebs) in the space P14 of skew- symmetric bilinear forms on C6 or else, to the (semi)stability of 5-tuples of complex skew-symmetric matrices of size 6. This problem is studied by a method similar to that applied by C.T.C.Wall to linear systems of quadrics. We obtain (semi)stability criteria in the skew-symmetric case and present a classification of semistable hyperwebs in terms of the possible intersections of P 4 with the Grassmannian Gr(2,6), embedded in P14 via the Plücker embedding. The space of deformations of a sheaf in the boundary B(X0) of M(X0) is studied. Denoting by B, M, , the union of the spaces B(X), M(X), respectively, for X varying in a complete family of deformations of X0, we prove that B is the union of two divisors B’ and B’’ and that at general points of B’, is the blowup of along a smooth subvariety. We conjecture that the same holds for B’’ . This allows us to consider as a sort of Donaldson-Uhlenbeck compactification of M.


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