De la géométrie à l’arithmétique en théorie inverse de Galois
(From geometry to arithmetic in inverse Galois theory)

URL d'accès : http://ori-nuxeo.univ-lille1.fr/nuxeo/site/esupver...

Auteur(s):  Motte, François
Date de soutenance : 31/05/2019
Éditeur(s) : Université Lille1 - Sciences et Technologies 

Langue : Français
Directeur(s) de thèse :  Dèbes, Pierre
Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
Ecole doctorale : École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille)

Classification : Mathématiques
Discipline : Mathématiques et leurs interactions
Mots-clés : Conjecture de Malle
Théorème d’irréductibilité de Hilbert
Problème de Grunwald
Galois, Théorie inverse de
Extensions de corps (mathématiques)
Géométrie algébrique arithmétique
Courbes algébriques

Résumé : Nous contribuons à la conjecture de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes finies E d'un corps de nombres K donné, de groupe de Galois G et dont la norme du discriminant est bornée par y. Nous établissons une minoration de ce nombre pour tout groupe fini G et sur tout corps de nombres K contenant un certain corps de nombres K'. Pour ce faire, on part d'une extension galoisienne régulière F/K(T) que l'on spécialise. On démontre une version forte du théorème d'Irréductibilté de Hilbert qui compte le nombre d'extensions spécialisées et pas seulement le nombre de points de spécialisation. Nous arrivons aussi à prescrire le comportement local en certains premiers des extensions spécialisées. En conséquence, on déduit de nouveaux résultats sur le problème local-global de Grunwald, en particulier pour certains groupes non résolubles. Afin d'arriver à nos fins, nous démontrons des résultats en géométrie diophantienne sur la recherche de points entiers sur des courbes algébriques.


Résumé (anglais) : We contribute to the Malle conjecture on the number of finite Galois extensions E of some number field K of Galois group G and of discriminant of norm bounded by y. We establish a lower bound for every group G and every number field K containing a certain number field K'. To achieve this goal, we start from a regular Galois extension F/K(T) that we specialize. We prove a strong version of the Hilbert Irreducibility Theorem which counts the number of specialized extensions and not only the specialization points. We can also prescribe the local behaviour of the specialized extensions at some primes. Consequently, we deduce new results on the local-global Grunwald problem, in particular for some non-solvable groups. To reach our goals, we prove some results in diophantine geometry about the number of integral points on an algebraic curve.


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